Докажи. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то противолежащий ему угол равен 30°. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C провели высоту CH. Найди AH, если AB = 16 см, AC = 8 см.

Доказательство: Предположим, что в прямоугольном треугольнике ABC катет AC равен половине гипотенузы AB. То есть, AC = 1/2 * AB. Рассмотрим треугольник, где угол C прямой. Если AC = 1/2 * AB, это означает, что синус угла B равен отношению противолежащего катета AC к гипотенузе AB. \(\sin(B) = \frac{AC}{AB} = \frac{1}{2}\) Угол, синус которого равен 1/2, это угол 30 градусов. Таким образом, угол B равен 30 градусам. \(B = 30^\circ\) Таким образом, если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то противолежащий этому катету угол равен 30 градусам. Что и требовалось доказать. Решение задачи: Дано: Прямоугольный треугольник ABC (угол C = 90°), CH – высота, AB = 16 см, AC = 8 см. Найти: AH. Решение: 1. Определим угол B. Так как AC = 8 см, а AB = 16 см, то AC = 1/2 * AB. Следовательно, угол B = 30° (как доказано выше). 2. Найдем угол A. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°. Значит, \(A = 90^\circ - B = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\) 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. В нем угол A = 60°. Тогда угол ACH = 90° - 60° = 30°. 4. Теперь мы можем найти AH. В прямоугольном треугольнике ACH: \(\cos(A) = \frac{AH}{AC}\) \(AH = AC * \cos(A) = 8 * \cos(60^\circ)\) Так как \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\), то \(AH = 8 * \frac{1}{2} = 4\) Ответ: AH = 4 см