Докажите, что ∠ACB = ∠BDA (рис. 71), если AD = BC и ∠BAD = ∠ABC.

Решение:

Рассмотрим треугольники \( \triangle ABD \) и \( \triangle BAC \).

По условию:

• \( AD = BC \) (по условию)
• \( \angle BAD = \angle ABC \) (по условию)
• \( AB = BA \) (общая сторона)

По двум сторонам и углу между ними (II признак равенства треугольников), \( \triangle ABD = \triangle BAC \).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:

\( \angle ADB = \angle BCA \) (углы против равных сторон \( AB \))

\( \angle ABD = \angle BAC \) (углы против равных сторон \( AD \) и \( BC \))

\( \angle BAC = \angle ABC \) (углы против равных сторон \( BC \) и \( AD \))

\( \angle BAD = \angle CBA \) (углы против равных сторон \( BD \) и \( AC \))

Сумма углов в \( \triangle ABC \) равна 180°: \( \angle ACB + \angle CBA + \angle BAC = 180° \).

Сумма углов в \( \triangle ABD \) равна 180°: \( \angle ADB + \angle DBA + \angle BAD = 180° \).

Так как \( \triangle ABD = \triangle BAC \), то \( \angle ADB = \angle BCA \) и \( \angle ABD = \angle BAC \).

Из условия \( \angle BAD = \angle ABC \) и \( \angle ABD = \angle BAC \).

Мы знаем, что \( \angle ACB \) в \( \triangle ABC \) равен \( \angle ADB \) в \( \triangle ABD \).

Также \( \angle BDA \) - это тот же угол, что и \( \angle ADB \).

Мы имеем \( \angle ACB \) и \( \angle BDA \).

Если \( \angle BAC = \angle ABC \), то \( \triangle ABC \) — равнобедренный с \( AC = BC \).

Если \( \angle BAD = \angle ABC \), то \( \triangle ABD \) — равнобедренный с \( AD = BD \).

Поскольку \( AD = BC \) (дано), то \( BD = BC \).

Рассмотрим \( \triangle ACB \) и \( \triangle BDA \).

• \( AC = BD \) (из равенства \( \triangle ABD = \triangle BAC \))
• \( BC = AD \) (дано)
• \( \angle ACB = \angle BDA \) (мы хотим доказать, но пока не можем, так как нам нужно доказать равенство треугольников \( \triangle ACB \) и \( \triangle BDA \)).

Проверим условие \( \angle BAC = \angle ABC \). Это следует из равенства \( \triangle ABD = \triangle BAC \).

Рассмотрим \( \triangle ABC \) и \( \triangle BAD \).

• \( BC = AD \) (по условию)
• \( \angle ABC = \angle BAD \) (по условию)
• \( AB = BA \) (общая сторона)

Следовательно, \( \triangle ABC = \triangle BAD \) по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства треугольников \( \triangle ABC = \triangle BAD \) следует равенство углов:

\( \angle ACB = \angle BDA \)

Что и требовалось доказать.