Докажите, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. Решение Пусть AD — биссектриса треугольника АВС. Докажем, что BD/AB = CD/AC (рис. 221, б). Треугольники ABD и ACD имеют об-

Ответ: доказательство в решении

Решение:

Пусть AD - биссектриса ∠BAC треугольника ABC. Обозначим ∠BAD = ∠CAD = α. Опустим высоты BH и CK на прямую AD.

Площадь треугольника ABD равна: \[S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot BH\]

Площадь треугольника ADC равна: \[S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CK\]

Тогда \[\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AD \cdot BH}{\frac{1}{2} \cdot AD \cdot CK} = \frac{BH}{CK}\]

Из прямоугольных треугольников ABH и ACK имеем:

BH = AB \(\cdot\) sin α

CK = AC \(\cdot\) sin α

Следовательно, \( \frac{BH}{CK} = \frac{AB \cdot sin α}{AC \cdot sin α} = \frac{AB}{AC} \)

Таким образом, \[\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{AB}{AC}\]

С другой стороны, площади треугольников ABD и ACD относятся как длины их оснований BD и CD, то есть \[\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{BD}{CD}\]

Из этих двух равенств следует, что \[\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}\]

Что и требовалось доказать.

Ответ: доказательство в решении