Докажите, что биссектрисы двух смежных углов перпендикулярны друг другу.

Пусть даны два смежных угла, например, ∠AOB и ∠BOC. Сумма смежных углов равна 180°, то есть ∠AOB + ∠BOC = 180°.

Проведем биссектрисы OD и OE углов ∠AOB и ∠BOC соответственно. Тогда ∠AOD = ∠DOB = 1/2 * ∠AOB, ∠BOE = ∠EOC = 1/2 * ∠BOC.

Угол DOE, образованный биссектрисами, равен сумме углов DOB и BOE:

$$∠DOE = ∠DOB + ∠BOE = rac{1}{2} ∠AOB + rac{1}{2} ∠BOC = rac{1}{2} (∠AOB + ∠BOC) = rac{1}{2} * 180° = 90°$$

Так как угол между биссектрисами равен 90°, то биссектрисы перпендикулярны.