5. Докажите, что через точку, не лежащую в данной плоскости, нельзя провести более одной прямой, перпендикулярной плоскости.

Доказательство:

Предположим противное, то есть через точку $$A$$, не лежащую в плоскости $$\alpha$$, можно провести две различные прямые $$a$$ и $$b$$, перпендикулярные этой плоскости. Тогда $$a \perp \alpha$$ и $$b \perp \alpha$$.

Пусть $$B$$ и $$C$$ - основания перпендикуляров, опущенных из точки $$A$$ на плоскость $$\alpha$$. Тогда $$a = AB$$ и $$b = AC$$. Так как $$a \perp \alpha$$, то $$AB \perp BC$$ (по определению перпендикулярности прямой и плоскости). Аналогично, так как $$b \perp \alpha$$, то $$AC \perp BC$$.

Таким образом, в треугольнике $$ABC$$ два угла - $$\angle ABC$$ и $$\angle ACB$$ - являются прямыми, что невозможно, так как сумма углов треугольника равна $$180^\circ$$. Получили противоречие. Следовательно, наше предположение неверно.

Ответ: Доказано, что через точку, не лежащую в данной плоскости, нельзя провести более одной прямой, перпендикулярной плоскости.