3. Прямые AB, AC и AD попарно перпендикулярны (рис. 61). Найдите отрезок CD, если: 1) АВ = 3 см, BC = 7 см, AD = 1,5 см; 2) BD = 9 см, ВС = 16 см, AD = 5 см; 3) AB = b, BC = a, AD = d; 4) BD = c, BC = a, AD = d.

Рассмотрим тетраэдр $$ABCD$$, у которого все ребра, выходящие из вершины $$A$$, попарно перпендикулярны. Тогда $$ABC$$, $$ABD$$, $$ACD$$ - прямоугольные треугольники с прямым углом $$A$$.

1) По теореме Пифагора для треугольника $$ABC$$:

$$AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{7^2 - 3^2} = \sqrt{49 - 9} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \text{ см}$$

По теореме Пифагора для треугольника $$ACD$$:

$$CD = \sqrt{AC^2 + AD^2} = \sqrt{(2\sqrt{10})^2 + (1,5)^2} = \sqrt{40 + 2,25} = \sqrt{42,25} = 6,5 \text{ см}$$

2) По теореме Пифагора для треугольника $$ABD$$:

$$AB = \sqrt{BD^2 - AD^2} = \sqrt{9^2 - 5^2} = \sqrt{81 - 25} = \sqrt{56} \text{ см}$$

По теореме Пифагора для треугольника $$ABC$$:

$$AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{16^2 - (\sqrt{56})^2} = \sqrt{256 - 56} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \text{ см}$$

По теореме Пифагора для треугольника $$ACD$$:

$$CD = \sqrt{AC^2 + AD^2} = \sqrt{(10\sqrt{2})^2 + 5^2} = \sqrt{200 + 25} = \sqrt{225} = 15 \text{ см}$$

3) По теореме Пифагора для треугольника $$ABC$$:

$$AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{a^2 - b^2}$$

По теореме Пифагора для треугольника $$ACD$$:

$$CD = \sqrt{AC^2 + AD^2} = \sqrt{(a^2 - b^2) + d^2} = \sqrt{a^2 - b^2 + d^2}$$

4) По теореме Пифагора для треугольника $$ABD$$:

$$AB = \sqrt{BD^2 - AD^2} = \sqrt{c^2 - d^2}$$

По теореме Пифагора для треугольника $$ABC$$:

$$AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{a^2 - (c^2 - d^2)} = \sqrt{a^2 - c^2 + d^2}$$

По теореме Пифагора для треугольника $$ACD$$:

$$CD = \sqrt{AC^2 + AD^2} = \sqrt{(a^2 - c^2 + d^2) + d^2} = \sqrt{a^2 - c^2 + 2d^2}$$

Ответ: 1) $$CD = 6,5 \text{ см}$$; 2) $$CD = 15 \text{ см}$$; 3) $$CD = \sqrt{a^2 - b^2 + d^2}$$; 4) $$CD = \sqrt{a^2 - c^2 + 2d^2}$$