5. Докажите, что четырехугольник ABCD – квадрат, если вершины имеют координаты А(-3; 5; 6), B (1; -5; 7), C (8; -3; -1), D (4; 7; -2)

Доказательство

1. Вычисление длин сторон:
   • \( AB = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (-5 - 5)^2 + (7 - 6)^2} = \sqrt{16 + 100 + 1} = \sqrt{117} \)
   • \( BC = \sqrt{(8 - 1)^2 + (-3 - (-5))^2 + (-1 - 7)^2} = \sqrt{49 + 4 + 64} = \sqrt{117} \)
   • \( CD = \sqrt{(4 - 8)^2 + (7 - (-3))^2 + (-2 - (-1))^2} = \sqrt{16 + 100 + 1} = \sqrt{117} \)
   • \( DA = \sqrt{(-3 - 4)^2 + (5 - 7)^2 + (6 - (-2))^2} = \sqrt{49 + 4 + 64} = \sqrt{117} \)

   Все стороны имеют одинаковую длину \( \sqrt{117} \), следовательно, ABCD - ромб.

2. Проверка перпендикулярности сторон (скалярное произведение векторов):
   • Вектор \( \vec{AB} = (1 - (-3), -5 - 5, 7 - 6) = (4, -10, 1) \)
   • Вектор \( \vec{BC} = (8 - 1, -3 - (-5), -1 - 7) = (7, 2, -8) \)
   • Скалярное произведение \( \vec{AB} \cdot \vec{BC} = 4 \cdot 7 + (-10) \cdot 2 + 1 \cdot (-8) = 28 - 20 - 8 = 0 \)

   Так как скалярное произведение векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{BC} \) равно 0, углы между сторонами AB и BC прямые.

Ответ: Четырехугольник ABCD является квадратом, так как все его стороны равны, и углы между смежными сторонами прямые.