2 вариант 1. Найдите длину отрезка АВ, если известны координаты его концов А(-1;3;0) и В (3;-2;4) 2. Найдите координаты вектора a = 21-3j+k 4. Даны три точки в пространстве А, В, С. Найдите скалярное произведение векторов АВ и АС и косинус угла между этими векторами, если координаты точек известны: A (2; -3; 0), B (-1;0; 3), C (0;-1; -4)

Решение варианта 2

1. Задача 1: Найдите длину отрезка AB, если известны координаты его концов A(-1;3;0) и B(3;-2;4).

   Длина отрезка AB вычисляется по формуле:

   \[ |AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \]

   Подставляем координаты точек A и B:

   \[ |AB| = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (-2 - 3)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{(4)^2 + (-5)^2 + (4)^2} = \sqrt{16 + 25 + 16} = \sqrt{57} \]

   Ответ: Длина отрезка \( AB = \sqrt{57} \)

2. Задача 2: Найдите координаты вектора \( \vec{a} = 2\vec{i} - 3\vec{j} + \vec{k} \).

   Координаты вектора \( \vec{a} \) заданы в виде разложения по координатным векторам \( \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} \).

   \[ \vec{a} = 2\vec{i} - 3\vec{j} + \vec{k} \]

   Это означает, что координаты вектора \( \vec{a} \) равны коэффициентам при соответствующих координатных векторах:

   \[ \vec{a} = (2; -3; 1) \]

   Ответ: Координаты вектора \( \vec{a} = (2; -3; 1) \)

3. Задача 4: Даны три точки в пространстве A(2; -3; 0), B(-1;0; 3), C(0;-1; -4). Найдите скалярное произведение векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \) и косинус угла между этими векторами.

   Находим координаты векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \):

   \[ \vec{AB} = B - A = (-1 - 2; 0 - (-3); 3 - 0) = (-3; 3; 3) \]

   \[ \vec{AC} = C - A = (0 - 2; -1 - (-3); -4 - 0) = (-2; 2; -4) \]

   Скалярное произведение векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \) вычисляется по формуле:

   \[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 \]

   Подставляем координаты векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \):

   \[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-3)(-2) + (3)(2) + (3)(-4) = 6 + 6 - 12 = 0 \]

   Косинус угла между векторами \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \) вычисляется по формуле:

   \[ cos(\alpha) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}||\vec{AC}|} \]

   Находим длины векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \):

   \[ |\vec{AB}| = \sqrt{(-3)^2 + 3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9 + 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \]

   \[ |\vec{AC}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \]

   Подставляем значения в формулу для косинуса угла:

   \[ cos(\alpha) = \frac{0}{3\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{6}} = 0 \]

   Ответ: Скалярное произведение \( \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0 \), косинус угла между векторами \( cos(\alpha) = 0 \).