Докажите, что четырёхугольник ABCD – параллелограмм.

Для доказательства того, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом, нам нужно показать, что его противоположные стороны параллельны и равны.

Из рисунка видно:

1. BC = AD (отмечено одинаковыми штрихами).
2. ∠B = ∠D = 90° (прямые углы).
3. BD - общий катет для прямоугольных треугольников.

Так как BC = AD, и BD является общей стороной, а углы B и D прямые, то прямоугольные треугольники ABD и CBD равны по двум катетам (первый признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов и сторон. Значит, AB = CD.

Рассмотрим углы при стороне BD: ∠ABD = ∠CDB, так как треугольники ABD и CBD равны. Эти углы являются накрест лежащими углами при прямых AB и CD и секущей BD. Равенство накрест лежащих углов означает, что AB || CD.

Итак, мы показали, что AB = CD и AB || CD. Этого достаточно, чтобы утверждать, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом, так как если две стороны четырёхугольника равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.