Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм (рис. 17): 1) диагональ AC образует углы 40° и 30° при A и углы 30° и 40° при C; 2) ∠A = 60°, внутренний угол при B равен 120°, а внешний угол при D равен 60°.

1) Рассмотрим диагональ AC как секущую. Углы BAC и ACD равны 40°, значит, AB ∥ CD по равенству накрест лежащих углов. Углы CAD и BCA равны 30°, значит, AD ∥ BC. Если в четырёхугольнике обе пары противоположных сторон параллельны, он является параллелограммом. Следовательно, ABCD — параллелограмм.

2) ∠A + ∠B = 60° + 120° = 180°, поэтому AD ∥ BC: внутренние односторонние углы при секущей AB в сумме дают 180°. Внешний угол при D равен 60°, следовательно, внутренний угол ADC равен 180° − 60° = 120°. Тогда ∠B + ∠D = 120° + 120° = 240°; также из рисунка внешний угол при D равен углу между продолжением AD и DC. Поэтому ∠C = 180° − ∠D = 60°, и ∠A + ∠D = 60° + 120° = 180°, откуда AB ∥ CD. Уже получено AD ∥ BC, значит, ABCD — параллелограмм.