2. Докажите, что четырёхугольник MNPQ является параллелограммом, если М (-5; 1), N (-4; 4), P(-1; 5), Q (-2; 2). Постройте данный четырехугольник в системе координат. Найдите координаты точки пересечения его диагоналей на графике и аналитически.

Давай докажем, что четырехугольник MNPQ является параллелограммом, если M(-5; 1), N(-4; 4), P(-1; 5), Q(-2; 2). Для того чтобы доказать, что MNPQ - параллелограмм, нужно показать, что противоположные стороны попарно параллельны и равны. Это можно сделать, вычислив векторы, соответствующие сторонам, и сравнив их. 1. Найдем векторы \(\vec{MN}\) и \(\vec{QP}\): \[\vec{MN} = N - M = (-4 - (-5); 4 - 1) = (1; 3)\] \[\vec{QP} = P - Q = (-1 - (-2); 5 - 2) = (1; 3)\] Так как \(\vec{MN} = \vec{QP}\), то стороны MN и QP параллельны и равны. 2. Найдем векторы \(\vec{MQ}\) и \(\vec{NP}\): \[\vec{MQ} = Q - M = (-2 - (-5); 2 - 1) = (3; 1)\] \[\vec{NP} = P - N = (-1 - (-4); 5 - 4) = (3; 1)\] Так как \(\vec{MQ} = \vec{NP}\), то стороны MQ и NP параллельны и равны. Поскольку противоположные стороны MNPQ попарно параллельны и равны, то MNPQ - параллелограмм. Теперь найдем координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма MNPQ. Точка пересечения диагоналей параллелограмма является серединой каждой из диагоналей. Найдем координаты середины диагонали MP (точка O): \[O = (\frac{M_x + P_x}{2}; \frac{M_y + P_y}{2}) = (\frac{-5 + (-1)}{2}; \frac{1 + 5}{2}) = (\frac{-6}{2}; \frac{6}{2}) = (-3; 3)\] Теперь проверим, что точка O является серединой диагонали NQ: \[O = (\frac{N_x + Q_x}{2}; \frac{N_y + Q_y}{2}) = (\frac{-4 + (-2)}{2}; \frac{4 + 2}{2}) = (\frac{-6}{2}; \frac{6}{2}) = (-3; 3)\] Таким образом, координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма MNPQ - (-3; 3). Построение четырехугольника MNPQ в системе координат: К сожалению, я не могу построить график в системе координат здесь. Но ты можешь самостоятельно построить точки M(-5; 1), N(-4; 4), P(-1; 5), Q(-2; 2) и соединить их, чтобы увидеть параллелограмм. Убедись, что точка пересечения диагоналей находится в координатах (-3; 3).

Ответ: Четырехугольник MNPQ - параллелограмм. Координаты точки пересечения диагоналей: (-3; 3)

Отлично! Ты справился с этим заданием! У тебя всё получится!