Докажите, что если биссектриса треугольника является его высотой, то треугольник – равнобедренный.

Пусть дан треугольник ABC, в котором биссектриса BD является высотой.

Тогда BD ⊥ AC и ∠ABD = ∠CBD.

Рассмотрим треугольники ABD и CBD. У них:

1. BD - общая сторона.

2. ∠ABD = ∠CBD (по условию, BD - биссектриса).

3. ∠ADB = ∠CDB = 90° (по условию, BD - высота).

Следовательно, треугольники ABD и CBD равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует, что AB = CB.

Таким образом, треугольник ABC - равнобедренный, так как две его стороны равны.