Докажите, что если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то он является ромбом.

Пусть ABCD — параллелограмм, а диагонали AC и BD пересекаются в точке O и перпендикулярны.

1. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам: AO = OC и BO = OD.

2. Треугольники AOB и COB прямоугольные: ∠AOB = ∠COB = 90°. У них AO = OC, а OB — общая сторона. Значит, треугольники равны по двум катетам.

3. Из равенства треугольников следует AB = BC.

4. В параллелограмме противоположные стороны равны: AB = CD и BC = AD. Поэтому AB = BC = CD = AD.

Следовательно, все стороны параллелограмма равны, значит, он является ромбом.