Докажите, что если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм — ромб.

Пусть ABCD — параллелограмм, у которого диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны. Обозначим точку пересечения диагоналей как O. В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам, следовательно, AO = OC и BO = OD. Рассмотрим треугольники AOB и AOD. У них сторона AO общая, BO = OD (как половины диагоналей параллелограмма), и ∠AOB = ∠AOD = 90° (по условию диагонали перпендикулярны).

Тогда треугольники AOB и AOD равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, AB = AD. Так как ABCD — параллелограмм, то противоположные стороны параллельны и равны, то есть AB = CD и BC = AD. Поскольку AB = AD, то AB = BC = CD = AD, что означает, что все стороны параллелограмма равны. Таким образом, параллелограмм ABCD является ромбом.