3. Докажите, что если диаго- нали прямоугольника пер- пендикулярны, то он явля- ется квадратом,

3. Доказательство:

Пусть дан прямоугольник ABCD, диагонали AC и BD которого перпендикулярны.

Так как диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, то AO = BO = CO = DO, где O — точка пересечения диагоналей.

Рассмотрим треугольники AOB, BOC, COD и DOA. Они все равнобедренные и прямоугольные (так как диагонали перпендикулярны). Значит, все их углы при основании равны 45°.

Таким образом, все углы прямоугольника ABCD равны 90°, а все стороны равны между собой, так как диагонали делят его на равнобедренные треугольники. Следовательно, ABCD — квадрат.

Ответ: доказано.