4. Докажите, что если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).

Доказательство:

Пусть дан треугольник ABC, в котором ∠A = ∠B. Докажем, что треугольник ABC – равнобедренный, то есть, что сторона AC равна стороне BC.

Проведем биссектрису угла C. Пусть она пересекает сторону AB в точке D.

Рассмотрим два треугольника: ADC и BDC.

В этих треугольниках:

• ∠A = ∠B (по условию)
• ∠ACD = ∠BCD (так как CD – биссектриса угла C)
• Сторона CD – общая.

Следовательно, треугольники ADC и BDC равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AC = BC.

Таким образом, если в треугольнике два угла равны, то треугольник равнобедренный, что и требовалось доказать.