Докажите, что если у параллелограмма диагонали являются биссектрисами его углов и равны, то он является квадратом.

Пусть диагонали параллелограмма ABCD равны и каждая является биссектрисой углов при своих концах.

1. Так как диагональ AC делит угол A пополам, ∠BAC = ∠CAD. При AB ∥ CD и BC ∥ AD из равенства накрест лежащих углов следует, что треугольники ABC и CDA равны по стороне AC и двум прилежащим углам. В частности, AB = AD.
2. В параллелограмме противоположные стороны равны: AB = CD и AD = BC. Вместе с AB = AD это означает, что все четыре стороны равны, то есть ABCD — ромб.
3. Равные диагонали параллелограмма означают, что он является прямоугольником. Действительно, если диагонали пересекаются в O, то AO = CO, BO = DO, а AC = BD даёт AO = BO. Из равенства треугольников AOB и BOC следует равенство соседних углов параллелограмма; соседние углы в сумме составляют 180°, значит каждый равен 90°.
4. Параллелограмм, который одновременно является ромбом и прямоугольником, — квадрат.

Следовательно, ABCD является квадратом.