1. Докажите, что функция F является первообразной для функции f на R.

Для доказательства необходимо продифференцировать функцию \( F(x) \). Если результат совпадет с \( f(x) \), то \( F(x) \) является первообразной. \[ F(x) = -\cos\frac{x}{2} - x^3 + 4 \] \[ F'(x) = \sin\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} - 3x^2 \] \[ F'(x) = \frac{1}{2}\sin\frac{x}{2} - 3x^2 \] Это совпадает с \( f(x) = \frac{1}{2}\sin\frac{x}{2} - 3x^2 \). Следовательно, \( F(x) \) является первообразной для \( f(x) \).