05 Докажите, что из всех треугольников, у которых одна сторона равна а, а другая b, наибольшую площадь имеет тот, у ко- торого эти стороны перпендикулярны.

Пусть дан треугольник ABC, у которого сторона AB = a и сторона BC = b. Требуется доказать, что наибольшую площадь имеет треугольник, у которого угол между этими сторонами (угол B) прямой, то есть равен 90 градусам.

1. Площадь треугольника можно вычислить по формуле: $$S = \frac{1}{2}ab \sin(\angle B)$$, где a и b - длины двух сторон треугольника, а $$\(angle B$$ - угол между этими сторонами.

2. Стороны a и b заданы и постоянны. Площадь треугольника зависит только от $$\sin(\angle B)$$.

3. Максимальное значение синуса угла равно 1, и это значение достигается, когда угол равен 90 градусам. То есть $$\max(\sin(\angle B)) = 1$$ при $$\angle B = 90^\circ$$.

4. Таким образом, наибольшая площадь треугольника будет, когда $$\sin(\angle B) = 1$$, то есть угол B равен 90 градусам. В этом случае площадь равна $$S = \frac{1}{2}ab$$.

5. Следовательно, из всех треугольников с заданными сторонами a и b наибольшую площадь имеет прямоугольный треугольник, у которого стороны a и b являются катетами.

Ответ: Доказано.