35.2. 1) Докажите, что изображенные на рисунке 149 треуголь жики подобны. 2) Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О (рис. 150). АО = 12 см, ВО = 4 см, СО = 30 см. DO = 10 см. Найдите угол САО, если ∠DBO = 61°. Найдите отношение площа дей треугольников АОС и BOD.

1. Рассмотрим рисунок 149. Даны два треугольника A₁B₁C₁ и АВС. ∠A₁ = 60°, ∠B₁ = 70°, значит, ∠C₁ = 180° - 60° - 70° = 50°. ∠A = 60°, ∠B = 70°, значит, ∠C = 180° - 60° - 70° = 50°. Так как углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника, то треугольники подобны по первому признаку подобия.
2. Дано: АО = 12 см, ВО = 4 см, СО = 30 см, DO = 10 см, ∠DBO = 61°. Треугольники АОС и BOD подобны по двум сторонам и углу между ними, т.к. углы ∠AOC и ∠BOD равны как вертикальные, и$$\frac{AO}{BO} = \frac{12}{4} = 3$$$$\frac{CO}{DO} = \frac{30}{10} = 3$$Тогда ∠CAO = ∠DBO = 61°.Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:$$\frac{S_{AOC}}{S_{BOD}} = \left(\frac{AO}{BO}\right)^2 = 3^2 = 9$$

Ответ: ∠CAO = 61°, отношение площадей треугольников АОС и BOD равно 9.