24. Докажите, что медиана треугольника делит его на два треугольника, площади которых равны между собой.

Доказательство: Пусть дан треугольник ABC, и медиана BM. Медиана делит сторону AC пополам, то есть AM = MC. Площадь треугольника можно выразить как половину произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию. Рассмотрим треугольники ABM и CBM. У них общая высота h, проведенная из вершины B к прямой AC. Площадь треугольника ABM равна $$S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot h$$, а площадь треугольника CBM равна $$S_{CBM} = \frac{1}{2} \cdot MC \cdot h$$. Так как AM = MC, то $$S_{ABM} = S_{CBM}$$. Следовательно, медиана треугольника делит его на два треугольника, площади которых равны между собой.