9 Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2: 1, счи- тая от вершины.

Доказательство:

Пусть AA₁, BB₁ и CC₁ - медианы треугольника ABC. Пусть O - точка пересечения медиан AA₁ и BB₁.

Рассмотрим треугольник AB₁A₁.

Так как B₁ и A₁ - середины сторон AC и BC соответственно, то B₁A₁ - средняя линия треугольника ABC. Следовательно, B₁A₁ || AB и B₁A₁ = 1/2 AB.

Треугольники AB₁A₁ и BA₁B₁ подобны по двум углам (угол AOB₁ = углу B₁OA₁ как вертикальные, угол OAB₁ = углу OB₁A₁ как накрест лежащие при параллельных прямых AB и A₁B₁ и секущей BB₁).

Из подобия треугольников следует: AO/OA₁ = BO/OB₁ = AB₁/B₁A₁.

Так как AB₁ = 1/2 AC и B₁A₁ = 1/2 AB, то AB₁/B₁A₁ = AB/A₁B = AC/AB = AC/(1/2 BC) = 2/1.

Следовательно, AO/OA₁ = BO/OB₁ = 2/1, то есть точка O делит медианы AA₁ и BB₁ в отношении 2:1, считая от вершины.

Аналогично можно доказать, что точка пересечения медиан AA₁ и CC₁ также делит медиану AA₁ в отношении 2:1, считая от вершины. Следовательно, все три медианы пересекаются в одной точке, и эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Ответ: Доказано, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.