10 Сформулируйте и докажите утверждение о том, что высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины пря- мого угла, разделяет треугольник на подобные треугольники.

Утверждение: Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен исходному треугольнику.

Доказательство:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Проведем высоту CD из вершины C к гипотенузе AB.

Рассмотрим треугольники ACD и ABC.

Угол A - общий. Угол ADC = углу ACB = 90°. Следовательно, треугольник ACD подобен треугольнику ABC по двум углам.

Рассмотрим треугольники BCD и ABC.

Угол B - общий. Угол BDC = углу ACB = 90°. Следовательно, треугольник BCD подобен треугольнику ABC по двум углам.

Так как треугольник ACD подобен треугольнику ABC, а треугольник BCD подобен треугольнику ABC, то треугольник ACD подобен треугольнику BCD (по свойству транзитивности подобия).

Таким образом, высота CD разделяет треугольник ABC на два прямоугольных треугольника (ACD и BCD), каждый из которых подобен исходному треугольнику ABC, что и требовалось доказать.

Ответ: Сформулировано и доказано утверждение о подобии треугольников, образованных высотой, проведенной из вершины прямого угла.