675 Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен полуразности ос- нований.

Ответ: Доказательство приведено в решении.

Пусть дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Пусть M и N - середины диагоналей AC и BD соответственно. Нужно доказать, что MN || AD || BC и MN = (AD - BC) / 2.

Доказательство:

• Проведём прямую через точку C параллельно BD до пересечения с AD в точке E.
• Тогда BCDE - параллелограмм, следовательно, BC = DE.
• Рассмотрим треугольник ACE. M - середина AC. Пусть N' - середина AE. Тогда MN' - средняя линия треугольника ACE.
• Следовательно, MN' || CE и MN' = 1/2 AE = 1/2 (AD - DE) = 1/2 (AD - BC).
• Теперь докажем, что N совпадает с N'. Так как BCDE - параллелограмм, то BD || CE. Значит, N - середина BD и N' - середина AE. Следовательно, N совпадает с N'.
• Таким образом, MN || AD || BC и MN = (AD - BC) / 2.

Ответ: Доказательство приведено в решении.