408. Докажите, что параллелограмм является ромбом, если: а) его диагонали взаимно перпендикулярны; б) диагональ делит его угол пополам.

а) Пусть ABCD – параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны (AC ⊥ BD).

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому AO = OC и BO = OD.

Рассмотрим треугольники AOB и BOC. В них AO = OC, BO – общая сторона, и ∠AOB = ∠BOC = 90° (так как AC ⊥ BD).

Следовательно, треугольники AOB и BOC равны по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства треугольников следует, что AB = BC.

Так как в параллелограмме ABCD стороны AB и BC равны, то ABCD – ромб (по определению).

б) Пусть ABCD – параллелограмм, и диагональ AC делит угол A пополам.

То есть ∠BAC = ∠DAC.

Так как ABCD – параллелограмм, то BC || AD.

Следовательно, ∠BCA = ∠DAC как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AC.

Тогда ∠BAC = ∠BCA.

Следовательно, треугольник ABC – равнобедренный, и AB = BC.

Так как в параллелограмме ABCD стороны AB и BC равны, то ABCD – ромб (по определению).