Докажите, что параллелограмм является ромбом, если: а) его диагонали взаимно перпендикулярны; б) диагональ делит его угол пополам.

Доказательство:

• а) Если диагонали взаимно перпендикулярны:
  • В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам.
  • Если диагонали перпендикулярны, то образуются четыре прямоугольных треугольника.
  • Катеты этих треугольников равны половинам диагоналей.
  • По теореме Пифагора, стороны параллелограмма (гипотенузы треугольников) равны: \( a^{2} = (d_{1}/2)^{2} + (d_{2}/2)^{2} \).
  • Следовательно, все стороны равны, и параллелограмм является ромбом.
• б) Если диагональ делит его угол пополам:
  • В параллелограмме диагональ делит угол пополам.
  • Рассмотрим два треугольника, на которые диагональ делит параллелограмм.
  • Диагональ является общей стороной для этих треугольников.
  • Углы при вершинах, которые делит диагональ, равны по условию.
  • Углы при основании, прилежащие к диагонали, равны как накрест лежащие при параллельных прямых (сторонах параллелограмма) и секущей (диагонали).
  • Следовательно, два треугольника равны по стороне и двум прилежащим углам (второму признаку равенства треугольников).
  • Из равенства треугольников следует, что прилежащие стороны параллелограмма равны.
  • Значит, все стороны параллелограмма равны, и он является ромбом.

Вывод: В обоих случаях (а и б) доказано, что все стороны параллелограмма равны, что соответствует определению ромба.