Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Вопрос:
1128. Докажите, что при любом натуральном $$n$$, большем 2, корни уравнения $$x + \frac{1}{x} = n$$ - иррациональные числа.
Ответ:
Для доказательства того, что корни уравнения $$x + \frac{1}{x} = n$$ иррациональны при любом натуральном $$n > 2$$, можно использовать метод от противного.
Предположим, что существует рациональный корень $$x = \frac{p}{q}$$, где $$p$$ и $$q$$ - взаимно простые целые числа, и $$q
eq 0$$. Тогда уравнение примет вид: $$\frac{p}{q} + \frac{q}{p} = n$$ Умножим обе части уравнения на $$pq$$, чтобы избавиться от дробей: $$p^2 + q^2 = npq$$ Теперь рассмотрим это уравнение по модулю $$q$$: $$p^2 \equiv 0 \pmod{q}$$ Это означает, что $$p^2$$ делится на $$q$$. Поскольку $$p$$ и $$q$$ взаимно простые, это возможно только если $$q = 1$$. (Если $$q$$ имеет простой делитель $$r$$, то $$p$$ тоже должен делиться на $$r$$, что противоречит взаимной простоте $$p$$ и $$q$$). Таким образом, если существует рациональный корень, то он должен быть целым числом. Пусть $$x$$ - целое число. Тогда уравнение принимает вид: $$x + \frac{1}{x} = n$$ Умножим обе части на $$x$$: $$x^2 + 1 = nx$$ $$x^2 - nx + 1 = 0$$ Это квадратное уравнение. Найдем его дискриминант $$D$$: $$D = n^2 - 4$$ Для того чтобы $$x$$ был рациональным (а значит, и целым), дискриминант должен быть полным квадратом. То есть, должно существовать целое число $$k$$, такое что: $$n^2 - 4 = k^2$$ $$n^2 - k^2 = 4$$ $$(n - k)(n + k) = 4$$ Поскольку $$n$$ - натуральное число, большее 2, и $$k$$ - целое число, рассмотрим возможные варианты разложения числа 4 на два множителя: 1. $$n - k = 1$$ и $$n + k = 4$$. Тогда $$2n = 5$$, откуда $$n = 2.5$$. Но $$n$$ должно быть целым, поэтому этот случай не подходит. 2. $$n - k = 2$$ и $$n + k = 2$$. Тогда $$2n = 4$$, откуда $$n = 2$$. Но по условию $$n > 2$$, поэтому этот случай тоже не подходит. Таким образом, не существует целого $$n > 2$$, при котором дискриминант является полным квадратом. Следовательно, корни уравнения не могут быть рациональными числами при $$n > 2$$. Значит, корни являются иррациональными. Вывод: При любом натуральном $$n > 2$$ корни уравнения $$x + \frac{1}{x} = n$$ являются иррациональными числами.
eq 0$$. Тогда уравнение примет вид: $$\frac{p}{q} + \frac{q}{p} = n$$ Умножим обе части уравнения на $$pq$$, чтобы избавиться от дробей: $$p^2 + q^2 = npq$$ Теперь рассмотрим это уравнение по модулю $$q$$: $$p^2 \equiv 0 \pmod{q}$$ Это означает, что $$p^2$$ делится на $$q$$. Поскольку $$p$$ и $$q$$ взаимно простые, это возможно только если $$q = 1$$. (Если $$q$$ имеет простой делитель $$r$$, то $$p$$ тоже должен делиться на $$r$$, что противоречит взаимной простоте $$p$$ и $$q$$). Таким образом, если существует рациональный корень, то он должен быть целым числом. Пусть $$x$$ - целое число. Тогда уравнение принимает вид: $$x + \frac{1}{x} = n$$ Умножим обе части на $$x$$: $$x^2 + 1 = nx$$ $$x^2 - nx + 1 = 0$$ Это квадратное уравнение. Найдем его дискриминант $$D$$: $$D = n^2 - 4$$ Для того чтобы $$x$$ был рациональным (а значит, и целым), дискриминант должен быть полным квадратом. То есть, должно существовать целое число $$k$$, такое что: $$n^2 - 4 = k^2$$ $$n^2 - k^2 = 4$$ $$(n - k)(n + k) = 4$$ Поскольку $$n$$ - натуральное число, большее 2, и $$k$$ - целое число, рассмотрим возможные варианты разложения числа 4 на два множителя: 1. $$n - k = 1$$ и $$n + k = 4$$. Тогда $$2n = 5$$, откуда $$n = 2.5$$. Но $$n$$ должно быть целым, поэтому этот случай не подходит. 2. $$n - k = 2$$ и $$n + k = 2$$. Тогда $$2n = 4$$, откуда $$n = 2$$. Но по условию $$n > 2$$, поэтому этот случай тоже не подходит. Таким образом, не существует целого $$n > 2$$, при котором дискриминант является полным квадратом. Следовательно, корни уравнения не могут быть рациональными числами при $$n > 2$$. Значит, корни являются иррациональными. Вывод: При любом натуральном $$n > 2$$ корни уравнения $$x + \frac{1}{x} = n$$ являются иррациональными числами.
Похожие
