847. Докажите, что при любом значении х многочлен x²+6x+10 принимает положительные значения.

Докажем, что при любом значении x многочлен $$x^2 + 6x + 10$$ принимает положительные значения.

Выделим полный квадрат:

$$x^2 + 6x + 10 = x^2 + 6x + 9 + 1 = (x+3)^2 + 1$$

Так как $$(x+3)^2$$ всегда неотрицательно (то есть больше или равно нулю) для любого x, то $$(x+3)^2 + 1$$ всегда больше 0.

Следовательно, многочлен $$x^2 + 6x + 10$$ всегда принимает положительные значения.

Ответ: Многочлен всегда принимает положительные значения.