848. Докажите, что выражение принимает лишь положительные значения: а) x²+2x+2; б) 4y²-4y+6; в) а²+b²-2ab+1; г) 9х²+4-6ху + 4y².

Докажем, что выражения принимают только положительные значения.

а) $$x^2 + 2x + 2$$

Выделим полный квадрат:

$$x^2 + 2x + 2 = x^2 + 2x + 1 + 1 = (x+1)^2 + 1$$

Так как $$(x+1)^2$$ всегда неотрицательно, то $$(x+1)^2 + 1$$ всегда больше 0.

б) $$4y^2 - 4y + 6$$

Выделим полный квадрат:

$$4y^2 - 4y + 6 = 4y^2 - 4y + 1 + 5 = (2y-1)^2 + 5$$

Так как $$(2y-1)^2$$ всегда неотрицательно, то $$(2y-1)^2 + 5$$ всегда больше 0.

в) $$a^2 + b^2 - 2ab + 1$$

Преобразуем выражение:

$$a^2 + b^2 - 2ab + 1 = (a-b)^2 + 1$$

Так как $$(a-b)^2$$ всегда неотрицательно, то $$(a-b)^2 + 1$$ всегда больше 0.

г) $$9x^2 + 4 - 6xy + 4y^2$$

Преобразуем выражение:

$$9x^2 - 6xy + 4y^2 + 4 = (3x - y)^2 + 3y^2 + 4$$

Так как $$(3x-y)^2$$ и $$3y^2$$ всегда неотрицательны, то $$(3x-y)^2 + 3y^2 + 4$$ всегда больше 0.

Ответ: Все выражения принимают только положительные значения.