5. Докажите, что при любых значениях х выражение x²+y²-2x+4y+5 принимает неотрицательные значения.

Для доказательства, что выражение $$x^2 + y^2 - 2x + 4y + 5$$ принимает неотрицательные значения при любых $$x$$ и $$y$$, преобразуем его, выделив полные квадраты: $$x^2 - 2x + y^2 + 4y + 5 = (x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) + 5 - 1 - 4 = (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + 0 = (x - 1)^2 + (y + 2)^2$$. Так как $$(x - 1)^2$$ и $$(y + 2)^2$$ всегда неотрицательны (квадрат любого числа неотрицателен), то их сумма также неотрицательна. Следовательно, выражение $$x^2 + y^2 - 2x + 4y + 5$$ всегда принимает неотрицательные значения.