Докажите, что при любых значениях переменной значение квадратного трёхчлена: a) x² + 30x + 250 положительно; б) -x² + 14x - 50 отрицательно.

Давайте докажем, что данные квадратные трехчлены принимают указанные значения при любых значениях переменной x. **a) x² + 30x + 250** Чтобы доказать, что данный трехчлен всегда положителен, мы можем выделить полный квадрат. Для этого мы используем формулу (a+b)² = a² + 2ab + b². 1. Заметим, что x² + 30x можно представить как первые два слагаемых в выражении (x + 15)² = x² + 2*x*15 + 15² = x² + 30x + 225. 2. Преобразуем исходное выражение, добавив и вычтя 225: x² + 30x + 250 = x² + 30x + 225 + 250 - 225. 3. Перепишем выражение, используя полный квадрат: (x² + 30x + 225) + 25 = (x + 15)² + 25. Так как (x + 15)² всегда неотрицательно (больше или равно нулю) для любого x, а к нему еще прибавляется 25, то выражение (x+15)² + 25 всегда будет больше 0. Значит, выражение x² + 30x + 250 всегда положительно. **б) -x² + 14x - 50** Чтобы доказать, что данный трехчлен всегда отрицателен, также выделим полный квадрат. 1. Вынесем минус за скобки: -(x² - 14x + 50). 2. Теперь рассмотрим выражение в скобках. Заметим, что x² - 14x можно представить как первые два слагаемых в выражении (x - 7)² = x² - 2*x*7 + 7² = x² - 14x + 49. 3. Преобразуем выражение в скобках: x² - 14x + 50 = x² - 14x + 49 + 50 - 49 = (x² - 14x + 49) + 1. 4. Перепишем выражение, используя полный квадрат: (x-7)² + 1. 5. Подставим обратно в выражение с минусом перед скобками: -((x-7)² + 1) = -(x - 7)² - 1. Так как (x-7)² всегда неотрицательно (больше или равно нулю), то -(x-7)² всегда неположительно (меньше или равно нулю). А если из -(x-7)² отнять еще 1, то -(x - 7)² - 1 всегда будет меньше 0. Значит, выражение -x² + 14x - 50 всегда отрицательно. **Ответ:** а) Выражение x² + 30x + 250 всегда положительно, так как его можно представить в виде (x+15)² + 25, где квадрат всегда неотрицательный, и прибавляется положительное число. б) Выражение -x² + 14x - 50 всегда отрицательно, так как его можно представить в виде -(x - 7)² - 1, где квадрат всегда неотрицательный, домноженный на -1 делает выражение неположительным, и из этого вычитается 1. Поэтому всё выражение всегда будет отрицательным.