487. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения 3 2 2a-4 ( + ) (a-2)2 - a+2 4- 4a + a² a² - 4 не зависит от значения а.

Необходимо доказать, что при всех допустимых значениях переменной a значение выражения

$$ \left( \frac{3}{4-4a+a^2} + \frac{2}{a^2-4} \right) \cdot (a-2)^2 - \frac{2a-4}{a+2} $$

не зависит от значения a.

Преобразуем выражение:

$$ \left( \frac{3}{(a-2)^2} + \frac{2}{(a-2)(a+2)} \right) \cdot (a-2)^2 - \frac{2(a-2)}{a+2} $$

Приведём к общему знаменателю выражение в скобках:

$$ \left( \frac{3(a+2) + 2(a-2)}{(a-2)^2(a+2)} \right) \cdot (a-2)^2 - \frac{2(a-2)}{a+2} = \frac{3a+6+2a-4}{(a-2)^2(a+2)} \cdot (a-2)^2 - \frac{2(a-2)}{a+2} = \frac{5a+2}{(a-2)^2(a+2)} \cdot (a-2)^2 - \frac{2(a-2)}{a+2} $$

Сократим выражение:

$$ \frac{5a+2}{a+2} - \frac{2(a-2)}{a+2} = \frac{5a+2 - 2a + 4}{a+2} = \frac{3a+6}{a+2} = \frac{3(a+2)}{a+2} $$

Сократим ещё раз:

$$ \frac{3(a+2)}{a+2} = 3 $$

Значение выражения равно 3 и не зависит от значения a.

Ответ: Выражение равно 3 и не зависит от значения а.