518 Докажите, что прямая, проходящая через середины противо- положных сторон прямоугольника, является его осью симме- трии.

Пусть дан прямоугольник $$ABCD$$. Пусть $$M$$ и $$N$$ — середины сторон $$AB$$ и $$CD$$ соответственно. Проведём прямую $$MN$$.

Докажем, что $$MN$$ является осью симметрии прямоугольника $$ABCD$$.

Возьмем произвольную точку $$X$$ на стороне $$AD$$. Опустим перпендикуляр $$XX'$$ на прямую $$MN$$. Пусть $$Y$$ — точка, симметричная точке $$X$$ относительно прямой $$MN$$. Нужно доказать, что точка $$Y$$ лежит на стороне $$BC$$.

Поскольку $$MN$$ — серединный перпендикуляр к $$AB$$ и $$CD$$, то при симметрии относительно $$MN$$ точка $$A$$ переходит в точку $$B$$, а точка $$D$$ — в точку $$C$$.

Пусть $$XX' = h$$. Тогда точка $$Y$$ также находится на расстоянии $$h$$ от прямой $$MN$$, но с другой стороны. Следовательно, точка $$Y$$ лежит на стороне $$BC$$.

Таким образом, прямая $$MN$$ является осью симметрии прямоугольника $$ABCD$$.

Аналогично можно доказать, что прямая, проходящая через середины сторон $$BC$$ и $$AD$$, также является осью симметрии прямоугольника $$ABCD$$.

Ответ: доказано, что прямая, проходящая через середины противоположных сторон прямоугольника, является его осью симметрии.