Докажите, что прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является квадратом. Докажите, что ромб, диагонали которого равны, является квадратом. 53. Центральная симметрия А. Определение. Точки В и Н называются симметричными относительно точки М.

Определим предмет: геометрия.

15. Докажите, что прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является квадратом.

Доказательство.

Пусть дан прямоугольник ABCD. По условию задачи AC перпендикулярно BD. Так как прямоугольник является параллелограммом, то он является и ромбом (см. задачу 12). Следовательно, все его стороны равны и все углы равны 90 градусов, то есть прямоугольник ABCD является квадратом. Что и требовалось доказать.

16. Докажите, что ромб, диагонали которого равны, является квадратом.

Доказательство.

По условию задачи диагонали ромба равны, а по определению ромб является параллелограммом, следовательно, имеем параллелограмм, диагонали которого равны. Значит, это прямоугольник (по свойству прямоугольника). Итак, имеем прямоугольник, все стороны которого равны, следовательно, это квадрат.

53. Центральная симметрия

А. Определение.

Точки В и Н называются симметричными относительно точки М, если точка М – середина отрезка ВН.