224. Докажите, что равные хорды одной окружности находят- ся на одинаковом расстоянии от ее центра. Сформули- руйте обратное утверждение и докажите его.

Разбираемся:

1. Пусть у нас есть окружность с центром в точке О.
2. Проведём в ней две равные хорды: АВ и CD.
3. Соединим концы каждой хорды с центром окружности О.
4. Получим два треугольника: АОВ и COD.

Теперь докажем, что эти треугольники равны:

• АО = ВО = CO = DO (как радиусы одной окружности).
• АВ = CD (по условию).

Следовательно, треугольники АОВ и COD равны по трём сторонам.

Из равенства треугольников следует равенство высот, проведённых из вершины О к основаниям АВ и CD. А эти высоты и есть расстояния от центра окружности до хорд.

Обратное утверждение: Если хорды окружности находятся на одинаковом расстоянии от её центра, то эти хорды равны.

Доказательство обратного утверждения:

1. Пусть ОК и OL – перпендикуляры, проведённые из центра окружности О к хордам АВ и CD, и ОК = OL.
2. Рассмотрим прямоугольные треугольники АОК и COL.

В них:

• АО = CO (как радиусы).
• ОК = OL (по условию).

Следовательно, треугольники АОК и COL равны по гипотенузе и катету.

Из равенства треугольников следует равенство катетов: АК = CL.

Поскольку перпендикуляр, проведённый из центра окружности к хорде, делит её пополам, то АВ = 2АК и CD = 2CL.

Следовательно, АВ = CD.

Ответ: Равные хорды находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности, и наоборот.

Проверка за 10 секунд: Проверь равенство треугольников, образованных радиусами и хордами.

Доп. профит: Уровень Эксперт. Это знание поможет тебе решать задачи на построение и доказательство в геометрии. Используй его!