567. Докажите, что середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Доказательство:

Пусть ABCD - данный четырехугольник. E, F, G, H - середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно.

Соединим точки E и H, F и G. EH - средняя линия в треугольнике ABD, значит EH || BD и EH = 1/2 BD. FG - средняя линия в треугольнике CBD, значит FG || BD и FG = 1/2 BD.

Следовательно, EH || FG и EH = FG. Значит, EFGH - параллелограмм (по признаку, что если две стороны четырехугольника равны и параллельны, то это параллелограмм).