Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 389 Докажите, что трапеция равнобедренная, если: а) углы при основании равны; б) диагонали трапеции равны.Фото задания

Ответ:

Решение задачи 389

Краткое пояснение: Доказательство признаков равнобедренной трапеции: равенство углов при основании и равенство диагоналей.

а) Докажем, что трапеция равнобедренная, если углы при основании равны.

  1. Пусть дана трапеция ABCD, где AD и BC - основания, и ∠A = ∠D.

  2. Проведём высоты BH и CF из вершин B и C к основанию AD. Рассмотрим треугольники ABH и DCF.

  3. В этих треугольниках ∠A = ∠D (по условию), углы AHB и DFC прямые, BH = CF (как высоты между параллельными прямыми). Следовательно, треугольники ABH и DCF равны по углу и стороне.

  4. Из равенства треугольников следует, что AB = CD.

  5. Таким образом, трапеция ABCD равнобедренная.

б) Докажем, что трапеция равнобедренная, если диагонали трапеции равны.

  1. Рассмотрим треугольники ABD и DCA.

  2. В этих треугольниках AD - общая сторона, BD = AC (по условию).

  3. Рассмотрим проекции боковых сторон трапеции на большее основание. Пусть AH - проекция стороны AB, а DE - проекция стороны CD. Так как диагонали трапеции равны, то равны и проекции: AH = DE.

  4. Тогда прямоугольные треугольники ABH и CDE равны по гипотенузе и катету (AH = DE, BD = AC).

  5. Отсюда следует, что AB = CD, то есть трапеция ABCD - равнобедренная.

Проверка за 10 секунд: Убедись, что доказательство опирается на равенство треугольников и свойства высот трапеции.
Доп. профит: Знание признаков равнобедренной трапеции упрощает решение геометрических задач и позволяет выявлять свойства фигур.