Докажите, что трапеция равнобедренная, если: а) углы при основании равны; б) диагонали трапеции равны.

Доказательство:

1. а) Углы при основании равны.

Пусть дана трапеция ABCD, где AD и BC — основания, и ∠BAD = ∠CDA. Нужно доказать, что AB = CD.

• Проведём высоты BH и CF к основанию AD.
• Тогда ABH и DCF — прямоугольные треугольники.
• Так как ∠BAD = ∠CDA, то и ∠ABH = ∠DCF (поскольку ∠ABH = 90° - ∠BAD и ∠DCF = 90° - ∠CDA).
• Также BH = CF (как высоты между параллельными прямыми).
• Следовательно, ΔABH = ΔDCF (по гипотенузе и острому углу).
• Значит, AB = CD, что и требовалось доказать.
2. б) Диагонали трапеции равны.

Пусть дана трапеция ABCD, где AD и BC — основания, и AC = BD. Нужно доказать, что AB = CD.

• Рассмотрим треугольники ABD и DCA.
• У них AC = BD (по условию), AD — общая сторона.
• AD и BC — основания трапеции, следовательно, они параллельны. Углы, которые диагонали образуют с основаниями, равны.
• Рассмотрим углы ∠BDA и ∠CAD. Эти углы не обязательно равны.
• Однако, можно доказать равенство треугольников ABD и DCA, показав равенство сторон AB и CD.
• Проведём высоты BH и CF к основанию AD.
• Рассмотрим прямоугольные треугольники ACF и DBH. У них AC = BD (по условию).
• Нужно доказать, что AF = DH. Тогда по двум катетам будут равны треугольники ACF и DBH, и, следовательно, CF = BH.
• Тогда по гипотенузе и катету будут равны прямоугольные треугольники ABH и DCF. И, следовательно, AB = CD, что и требовалось доказать.
• Чтобы доказать, что AF = DH, можно использовать следующее рассуждение:
• AD = AF + FD = DH + HA. Если докажем, что FD = HA, то и AF = DH.
• Если трапеция равнобедренная, то это верно. Но это и нужно доказать.
• Вместо этого рассмотрим равнобедренные треугольники, образованные диагоналями и основаниями. ΔBOC и ΔAOD. У них углы при основании равны. ∠OBC = ∠OCB и ∠OAD = ∠ODA.
• Тогда ∠ABD = ∠ACD, как равные углы, образованные вычитанием равных углов из равных углов (∠ABC = ∠DCB, как углы при основании трапеции).
• Значит ΔABD = ΔDCA по двум сторонам и углу между ними. (AD - общая, AC = BD, ∠ABD = ∠ACD).
• Значит, AB = CD, что и требовалось доказать.