1019. Докажите, что в любой компании из 6 человек найдётся трое попарно знакомых или трое попарно незнакомых.

Эта задача связана с теорией Рамсея. Представим 6 человек как 6 точек, а отношения между ними (знакомство или незнакомство) как линии, соединяющие эти точки. Если два человека знакомы, линия будет, например, красной, а если нет - синей. Задача сводится к доказательству, что при любой раскраске линий между 6 точками всегда найдется либо 3 точки, соединенные только красными линиями (трое знакомых), либо 3 точки, соединенные только синими линиями (трое незнакомых). Выберем произвольную точку (человека) A. У нее есть 5 соединений с другими точками. Значит, как минимум 3 из этих линий будут одного цвета (либо красные, либо синие). Предположим, что как минимум 3 линии, идущие из A, - красные (случай с синими линиями аналогичен). Пусть эти красные линии соединяют A с точками B, C и D. Теперь рассмотрим отношения между B, C и D. * Если хотя бы одна из линий, соединяющих B, C или D, - красная (например, B и C знакомы), то у нас есть красный треугольник (A, B, C - все трое попарно знакомы). * Если все линии, соединяющие B, C и D, - синие, то у нас есть синий треугольник (B, C, D - все трое попарно незнакомы). В любом случае, мы нашли либо троих попарно знакомых, либо троих попарно незнакомых.