Докажите, что в равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC, где точки M и N отмечены на основании BC так, что BM = CN: a) \(\triangle BAM = \triangle CAN\); б) треугольник AMN равнобедренный.

Давайте докажем утверждения задачи: **a) Доказательство \(\triangle BAM = \triangle CAN\):** 1. **Условие:** \(\triangle ABC\) - равнобедренный, следовательно, \(AB = AC\). 2. **Условие:** \(BM = CN\). 3. **Угол между сторонами:** \(\angle B = \angle C\), так как \(\triangle ABC\) равнобедренный (углы при основании равнобедренного треугольника равны). Таким образом, у нас есть две стороны (\(AB = AC\) и \(BM = CN\)) и угол между ними (\(\angle B = \angle C\)), которые соответственно равны у треугольников \(\triangle BAM\) и \(\triangle CAN\). По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), \(\triangle BAM = \triangle CAN\). **б) Доказательство, что треугольник AMN равнобедренный:** 1. Так как \(\triangle BAM = \triangle CAN\) (доказано в пункте a), то \(AM = AN\) (как соответствующие стороны равных треугольников). 2. Если \(AM = AN\), то \(\triangle AMN\) - равнобедренный треугольник (по определению равнобедренного треугольника). **Вывод:** * \(\triangle BAM = \triangle CAN\) доказано по первому признаку равенства треугольников. * \(\triangle AMN\) равнобедренный, так как \(AM = AN\). **Развернутый ответ для школьника:** Представь себе, что у тебя есть равнобедренный треугольник, например, как горка. Он особенный тем, что две его стороны одинаковые, и углы у основания (внизу) тоже одинаковые. Теперь, если ты отложишь одинаковые кусочки от концов этого основания, и соединишь эти точки с вершиной горки (верхним углом), то получишь два одинаковых треугольника. Это потому что у них две стороны и угол между ними будут одинаковыми. А если эти треугольники одинаковые, то и стороны, соединяющие вершину с отложенными точками, тоже будут одинаковыми. Значит, новый треугольник, который получится внутри, тоже будет равнобедренным, потому что у него две стороны одинаковые!