Докажите, что в равных треугольниках меди- аны, проведённые к равным сторонам, равны.

Ответ: Доказательство в решении.

Доказательство:

1. Рассмотрим два равных треугольника ABC и A₁B₁C₁.

2. Пусть AM и A₁M₁ – медианы, проведённые к равным сторонам BC и B₁C₁ соответственно, то есть BC = B₁C₁.

3. Так как BC = B₁C₁, то BM = MC = B₁M₁ = M₁C₁ (по определению медианы).

4. ΔABC = ΔA₁B₁C₁ (по условию), следовательно, AB = A₁B₁, ∠B = ∠B₁.

5. Рассмотрим треугольники ABM и A₁B₁M₁:

   • AB = A₁B₁ (из равенства треугольников ABC и A₁B₁C₁).
   • BM = B₁M₁ (так как BC = B₁C₁ и AM, A₁M₁ – медианы).
   • ∠B = ∠B₁ (из равенства треугольников ABC и A₁B₁C₁).

6. Следовательно, ΔABM = ΔA₁B₁M₁ (по первому признаку равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними).

7. Из равенства треугольников ABM и A₁B₁M₁ следует, что AM = A₁M₁.

8. Таким образом, медианы, проведённые к равным сторонам в равных треугольниках, равны.

Ответ: Доказательство в решении.