704. Докажите, что значение выражения: а) $$9^5 - 9^4 + 9^3$$ кратно 73; б) $$2^8 + 2^6 - 2^4 - 2^2$$ кратно 75; в) $$10^6 - 20^4$$ кратно 84; г) $$12^5 - 18^4$$ кратно 37.

Решение: а) $$9^5 - 9^4 + 9^3 = 9^3(9^2 - 9 + 1) = 9^3(81 - 9 + 1) = 9^3 * 73$$. Так как один из множителей равен 73, то выражение кратно 73. б) $$2^8 + 2^6 - 2^4 - 2^2 = 2^2(2^6 + 2^4 - 2^2 - 1) = 4(64 + 16 - 4 - 1) = 4 * 75$$. Так как один из множителей равен 75, то выражение кратно 75. в) $$10^6 - 20^4 = (10^3)^2 - (20^2)^2 = (10^3 - 20^2)(10^3 + 20^2) = (1000 - 400)(1000 + 400) = 600 * 1400 = 600 * (20 * 70) = 12000 * 7 * 2 = 840000$$. Так как $$840000 = 84 * 10000$$, то выражение кратно 84. г) $$12^5 - 18^4 = (2^2 * 3)^5 - (2 * 3^2)^4 = 2^{10} * 3^5 - 2^4 * 3^8 = 2^4 * 3^5(2^6 - 3^3) = 2^4 * 3^5(64 - 27) = 2^4 * 3^5 * 37$$. Так как один из множителей равен 37, то выражение кратно 37.