Докажите неравенство: 1) (1/4)^(3/2) < (1/27)^[показатель неразборчив: вероятно −2/3 или 2/3]; 2) 3^(1/3) > 4^(1/4) > 5^(1/5); 3) 2003^(1/2) + 2005^(1/2) < 2·2004^(1/2); 4) 2^(1/100) + 101^(-1) > 1.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Показатель справа на фото читается не вполне отчётливо. Если это \(-\frac23\), то \((1/4)^{3/2}=1/8\), а \((1/27)^{-2/3}=9\), поэтому \(1/8<9\) и неравенство верно. Если показатель \(+\frac23\), то правая часть равна \(1/9\), и утверждение неверно, поскольку \(1/8>1/9\).
Сравним положительные числа, возведя их в общие степени: \(3^{1/3}>4^{1/4}\), так как \(3^4=81>64=4^3\); также \(4^{1/4}>5^{1/5}\), так как \(4^5=1024>625=5^4\). Следовательно, \(3^{1/3}>4^{1/4}>5^{1/5}\).
Обе части положительны. Сравним их квадраты:
\((\sqrt{2003}+\sqrt{2005})^2=4008+2\sqrt{2003\cdot2005}\).
Так как \(2003\cdot2005=2004^2-1<2004^2\), получаем \(\sqrt{2003\cdot2005}<2004\). Значит, квадрат левой части меньше \(4008+2\cdot2004=8016=(2\sqrt{2004})^2\). Следовательно, исходное неравенство верно.
Так как \(2^{1/100}>1\) и \(101^{-1}=1/101>0\), то \(2^{1/100}+101^{-1}>1\).

Ответ: пункты 2–4 доказаны; в пункте 1 неравенство верно, если показатель справа равен \(-\frac23\), а при показателе \(+\frac23\) оно неверно.