Доказательство неравенств:

1. $$28a - 32 \le 7a^2 - 4$$ Перенесем все в правую часть: $$0 \le 7a^2 - 28a + 28$$ Разделим на 7: $$0 \le a^2 - 4a + 4$$ $$0 \le (a - 2)^2$$ Квадрат любого числа всегда больше или равен нулю, следовательно, неравенство верно.
2. $$9x^2 - 6xy + 4y^2 \ge 0$$ Представим в виде: $$(3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot y + y^2 + 3y^2 \ge 0$$ $$(3x - y)^2 + 3y^2 \ge 0$$ Квадрат любого числа всегда больше или равен нулю, и $$3y^2$$ тоже всегда больше или равно нулю, следовательно, сумма всегда больше или равна нулю, и неравенство верно.
3. $$3(b-1) < b(b + 1)$$ Раскроем скобки: $$3b - 3 < b^2 + b$$ Перенесем все в правую часть: $$0 < b^2 - 2b + 3$$ Выделим полный квадрат: $$0 < (b - 1)^2 + 2$$ Так как $$ (b - 1)^2$$ всегда больше или равно нулю, то данное выражение всегда больше нуля, следовательно, неравенство верно.
4. $$(4p-1)(p + 1) - (p-3) (p + 3) > 3(p^2 + p)$$ Раскроем скобки: $$4p^2 + 4p - p - 1 - (p^2 - 9) > 3p^2 + 3p$$ $$4p^2 + 3p - 1 - p^2 + 9 > 3p^2 + 3p$$ $$3p^2 + 3p + 8 > 3p^2 + 3p$$ $$8 > 0$$ Это неравенство всегда верно.