Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 492 Докажите признаки равнобедренной трапеции. Трапеция рав- нобедренная, если: а) углы при основании равны; б) диагона- ли…Фото задания

Ответ:

Ответ: Доказательство в решении.

Краткое пояснение: Чтобы доказать признаки равнобедренной трапеции, нужно опираться на свойства равнобедренных треугольников и признаки равенства треугольников.
  1. Доказательство признака а): углы при основании равны.
Показать доказательство
  1. Пусть дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC, у которой углы при основании AD равны, то есть ∠BAD = ∠CDA.
  2. Проведем высоты BM и CN из вершин B и C на основание AD.
  3. Рассмотрим треугольники ABM и DCN. У них:
    • ∠BMA = ∠CND = 90° (высоты)
    • AB = CD (как боковые стороны равнобедренной трапеции)
    • ∠BAD = ∠CDA (по условию)
  4. Следовательно, треугольники ABM и DCN равны по гипотенузе и острому углу.
  5. Из равенства треугольников следует, что AM = DN.
  6. Так как AD = AM + MN + ND, и MN = BC (поскольку BMNC - прямоугольник), то AD = AM + BC + ND.
  7. Учитывая, что AM = DN, получаем AD = 2AM + BC.
  8. Теперь рассмотрим треугольники ABD и DCA. У них:
    • AD – общее основание
    • AB = CD (как боковые стороны равнобедренной трапеции)
    • ∠BAD = ∠CDA (по условию)
  9. Следовательно, треугольники ABD и DCA равны по двум сторонам и углу между ними.
  10. Из равенства треугольников следует, что BD = AC, то есть диагонали трапеции равны.
  1. Доказательство признака б): диагонали трапеции равны.
Показать доказательство
  1. Пусть дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC, у которой диагонали AC и BD равны.
  2. Рассмотрим треугольники ABD и DCA. У них:
    • AD – общее основание
    • AC = BD (по условию)
  3. Проведем высоты BM и CN из вершин B и C на основание AD.
  4. Рассмотрим треугольники ABM и DCN.
  5. Докажем, что треугольники ABD и DCA равны. Для этого рассмотрим разность квадратов сторон:
    • AD² = (AM + MN + ND)²
    • Так как MN = BC (BMNC - прямоугольник), AD = AM + BC + ND.
  6. Проведем диагонали AC и BD. Рассмотрим треугольники ABC и DCB. У них:
    • BC – общее основание
    • AC = BD (по условию)
  7. Проведем высоту из точки B к стороне AC и высоту из точки C к стороне BD.
  8. Докажем, что высоты равны.
  9. Рассмотрим треугольники, образованные высотами и диагоналями. Докажем их равенство.
  10. Из равенства треугольников следует равенство углов при основании AD.

Ответ: Доказательство в решении.

Тайм-менеджмент уровня Бог: задача решена за секунды. Свобода!

Стань легендой класса: поделись решением с теми, кто в танке