Докажите признаки равнобедренной трапеции. Трапеция равнобедренная, если: а) углы при основании равны; б) диагонали трапеции равны.

Для доказательства признаков равнобедренной трапеции рассмотрим каждый случай отдельно.

а) Углы при основании равны

Пусть дана трапеция ABCD, где AD и BC – основания, и углы при основании AD равны, то есть ∠BAD = ∠CDA. Нужно доказать, что трапеция ABCD – равнобедренная (AB = CD).

1. Проведем высоты BM и CN из вершин B и C к основанию AD.

2. Рассмотрим треугольники ABM и DCN. У них:

• ∠BMA = ∠CND = 90° (так как BM и CN – высоты)
• ∠BAD = ∠CDA (по условию)

Следовательно, треугольники ABM и DCN подобны по двум углам.

3. Так как углы при основании AD равны, то высоты BM и CN также равны (BM = CN). Тогда треугольники ABM и DCN равны по стороне (BM = CN) и прилежащему острому углу (∠BAD = ∠CDA).

4. Из равенства треугольников следует, что AB = CD. Таким образом, трапеция ABCD – равнобедренная.

б) Диагонали трапеции равны

Пусть дана трапеция ABCD, где AD и BC – основания, и диагонали AC = BD. Нужно доказать, что трапеция ABCD – равнобедренная (AB = CD).

1. Рассмотрим треугольники ABD и DCA.

2. У них:

• AD – общая сторона
• AC = BD (по условию)

3. Чтобы доказать равенство этих треугольников, нам нужно доказать равенство углов ∠BDA и ∠CAD.

4. Рассмотрим углы ∠ADB и ∠DAC. Так как AC = BD, можно рассмотреть окружность, описанную около трапеции. В равнобедренной трапеции вокруг неё можно описать окружность. Тогда углы ∠ADB и ∠DAC опираются на равные хорды (AB и CD), и, следовательно, они равны: ∠ADB = ∠DAC.

5. Следовательно, треугольники ABD и DCA равны по двум сторонам (AD – общая, AC = BD) и углу между ними (∠ADB = ∠DAC).

6. Из равенства треугольников следует, что AB = DC. Таким образом, трапеция ABCD – равнобедренная.