Докажите свойство отклонений от среднего арифметического. Пусть дан набор чисел \(x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n\), и их среднее арифметическое равно \(\overline{x}\). Покажите, что сумма всех отклонений равна нулю.

По определению среднего арифметического \(\overline{x}=(x_1+x_2+\cdots+x_n)/n\), поэтому \(x_1+x_2+\cdots+x_n=n\overline{x}\).

Сумма отклонений чисел от среднего равна:

\((x_1-\overline{x})+(x_2-\overline{x})+\cdots+(x_n-\overline{x})\).

Соберём отдельно числа набора и средние значения: \((x_1+x_2+\cdots+x_n)-n\overline{x}\).

Подставим равенство \(x_1+x_2+\cdots+x_n=n\overline{x}\): получаем \(n\overline{x}-n\overline{x}=0\).

Сумма отклонений чисел от их среднего арифметического равна нулю.