891 Докажите теорему Менелая (задача 890) для случая, ко точки С1, А1 и В₁ лежат на продолжениях сторон АВ, В АС треугольника АВС.

Для доказательства теоремы Менелая в данном случае, рассмотрим треугольник ABC и прямую, пересекающую стороны AB, BC и продолжение стороны AC в точках C₁, A₁ и B₁ соответственно.

Теорема Менелая утверждает, что для треугольника ABC и прямой, пересекающей его стороны (или их продолжения) в точках C₁, A₁ и B₁, выполняется равенство:

$$\frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = 1$$

Рассмотрим знаки отношений отрезков в данном случае:

1. $$\frac{AC_1}{C_1B}$$ - поскольку C₁ лежит на продолжении стороны AB, то отрезки AC₁ и C₁B направлены в разные стороны относительно точки C₁, и отношение отрицательно.
2. $$\frac{BA_1}{A_1C}$$ - поскольку A₁ лежит на продолжении стороны BC, то отрезки BA₁ и A₁C направлены в разные стороны относительно точки A₁, и отношение отрицательно.
3. $$\frac{CB_1}{B_1A}$$ - поскольку B₁ лежит на продолжении стороны AC, то отрезки CB₁ и B₁A направлены в разные стороны относительно точки B₁, и отношение отрицательно.

Таким образом, все три отношения отрицательны. Произведение трех отрицательных чисел отрицательно, что противоречит теореме Менелая.

Однако, если рассматривать абсолютные величины отрезков, то теорема Менелая выполняется, но с учетом знаков, произведение должно быть равно -1. Это связано с тем, что условие расположения точек на продолжениях сторон треугольника меняет знаки отношений отрезков.

Чтобы строго доказать теорему Менелая в этом случае, нужно либо пересмотреть знаки отношений, либо использовать векторный подход, который автоматически учитывает направление отрезков.

Итоговый вывод: в указанном случае, когда точки C₁, A₁ и B₁ лежат на продолжениях сторон треугольника, произведение отношений отрезков равно 1 только по абсолютной величине, но с учетом знаков должно быть равно -1.