Решение:

1. a) $$\cos^4 t - \sin^4 t = \cos 2t$$

   Преобразуем левую часть равенства, используя формулу разности квадратов: $$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$.

   $$\cos^4 t - \sin^4 t = (\cos^2 t - \sin^2 t)(\cos^2 t + \sin^2 t)$$

   Так как $$\cos^2 t + \sin^2 t = 1$$, то выражение упрощается до:

   $$\cos^2 t - \sin^2 t$$

   Используем формулу двойного угла косинуса: $$\cos 2t = \cos^2 t - \sin^2 t$$.

   Следовательно, $$\cos^4 t - \sin^4 t = \cos 2t$$, что и требовалось доказать.

2. б) $$\cos^4 t + \sin^4 t = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2t$$

   Преобразуем левую часть равенства:

   $$\cos^4 t + \sin^4 t = (\cos^2 t)^2 + (\sin^2 t)^2$$

   Добавим и вычтем $$2\cos^2 t \sin^2 t$$:

   $$\cos^4 t + \sin^4 t = (\cos^2 t)^2 + 2\cos^2 t \sin^2 t + (\sin^2 t)^2 - 2\cos^2 t \sin^2 t$$

   Теперь можно свернуть выражение в полный квадрат:

   $$\cos^4 t + \sin^4 t = (\cos^2 t + \sin^2 t)^2 - 2\cos^2 t \sin^2 t$$

   Так как $$\cos^2 t + \sin^2 t = 1$$, то:

   $$\cos^4 t + \sin^4 t = 1 - 2\cos^2 t \sin^2 t$$

   Используем формулу двойного угла синуса: $$\sin 2t = 2\sin t \cos t$$. Возведем обе части в квадрат: $$\sin^2 2t = 4\sin^2 t \cos^2 t$$. Выразим $$2\cos^2 t \sin^2 t$$ через $$\sin^2 2t$$:

   $$2\sin^2 t \cos^2 t = \frac{1}{2} \cdot 4\sin^2 t \cos^2 t = \frac{1}{2}\sin^2 2t$$

   Тогда:

   $$\cos^4 t + \sin^4 t = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2t$$, что и требовалось доказать.