5. Докажите тождество: $$(1 + \cot^2 a + \frac{1}{\sin^2 a}) \cdot \sin^2 a \cdot \cos^2 a = 1$$

Необходимо доказать тождество: $$(1 + \cot^2 a + \frac{1}{\sin^2 a}) \cdot \sin^2 a \cdot \cos^2 a = 1$$ 1. Используем известное тождество: $$1 + \cot^2 a = \frac{1}{\sin^2 a}$$. Тогда выражение в скобках можно переписать как: $$\frac{1}{\sin^2 a} + \frac{1}{\sin^2 a} = \frac{2}{\sin^2 a}$$ 2. Подставим это в исходное выражение: $$\frac{2}{\sin^2 a} \cdot \sin^2 a \cdot \cos^2 a = 2\cos^2 a$$ 3. Полученное выражение $$2\cos^2 a$$ не равно 1. Следовательно, исходное тождество неверно. Возможно, в условии опечатка, и выражение должно быть равно $$2\cos^2 a$$. Но, если предположить, что в условии ошибка, и выражение в скобках имеет вид $$(\frac{1}{\sin^2 a} - \cot^2 a)$$, то получится: $$\left(1 + \cot^2 a - \cot^2 a\right) \cdot \sin^2 a \cdot \cos^2 a = \sin^2 a \cdot \cos^2 a$$. Далее непонятно, как это упростить до 1. Ответ: Условие некорректно, данное тождество неверно.