Докажите тождество: \(\left(\dfrac{2x+5}{x^2+4x+4}-\dfrac{x+3}{x^2+2x}\right):\dfrac{x^2-6}{x^3-4x}=\dfrac{x-2}{x+2}\).

Разложим знаменатели на множители: \(x^2+4x+4=(x+2)^2\), \(x^2+2x=x(x+2)\), \(x^3-4x=x(x-2)(x+2)\).

Сначала упростим выражение в скобках:

\(\dfrac{2x+5}{(x+2)^2}-\dfrac{x+3}{x(x+2)}=\dfrac{x(2x+5)-(x+3)(x+2)}{x(x+2)^2}=\dfrac{x^2-6}{x(x+2)^2}\).

Теперь разделим на вторую дробь, умножив на обратную:

\(\dfrac{x^2-6}{x(x+2)^2}\cdot\dfrac{x(x-2)(x+2)}{x^2-6}=\dfrac{x-2}{x+2}\).

Получили правую часть, следовательно, тождество доказано. Допустимые значения: \(x\ne -2,0,2\) и \(x^2\ne 6\), то есть \(x\ne \pm\sqrt6\).