Докажите тождество: \(\left(\dfrac{2y+1}{y^2+6y+9}-\dfrac{y-2}{y^2+3y}\right):\dfrac{y^2+6}{y^3-9y}=\dfrac{y-3}{y+3}\).

ОДЗ: \(y\ne -3,0,3\). Знаменатель делителя не равен нулю при этих значениях; также \(y^2+6\ne0\) для действительных \(y\).

Преобразуем разность в скобках, учитывая, что \(y^2+6y+9=(y+3)^2\), а \(y^2+3y=y(y+3)\):

\(\dfrac{2y+1}{(y+3)^2}-\dfrac{y-2}{y(y+3)}=\dfrac{y(2y+1)-(y-2)(y+3)}{y(y+3)^2}=\dfrac{y^2+6}{y(y+3)^2}\).

Теперь разделим на указанную дробь:

\(\dfrac{y^2+6}{y(y+3)^2}\cdot\dfrac{y^3-9y}{y^2+6}=\dfrac{y^3-9y}{y(y+3)^2}\).

Разложим числитель на множители и сократим:

\(\dfrac{y(y-3)(y+3)}{y(y+3)^2}=\dfrac{y-3}{y+3}\).

Получено выражение из правой части, следовательно, тождество доказано на ОДЗ.