Докажите тождество: \(\left(\frac{2x+5}{x^2+4x+4}-\frac{x+3}{x^2+2x}\right):\frac{x^2-6}{x^3-4x}=\frac{x-2}{x+2}\).

Разложим знаменатели на множители и упростим выражение в скобках:

\[\frac{2x+5}{(x+2)^2}-\frac{x+3}{x(x+2)}=\frac{x(2x+5)-(x+3)(x+2)}{x(x+2)^2}=\frac{x^2-6}{x(x+2)^2}.\]

Теперь разделим на вторую дробь, умножив на обратную:

\[\frac{x^2-6}{x(x+2)^2}\cdot\frac{x^3-4x}{x^2-6}=\frac{x^2-6}{x(x+2)^2}\cdot\frac{x(x-2)(x+2)}{x^2-6}=\frac{x-2}{x+2}.\]

Получили правую часть, следовательно, тождество доказано при допустимых значениях: \(x\ne0,\;x\ne\pm2,\;x\ne\pm\sqrt6\).